Question

16．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2$\sqrt{2}，C{C_1}$=4，∠ABC=90°，E，F分别为AA₁，C₁B₁的中点，沿棱柱的表面从点E到点F的最短路径的长度为（　　）

• A． $\sqrt{14+4\sqrt{2}}$
• B． $\sqrt{22}$
• C． $3\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意，题中E、F分别在AA₁、C₁B₁上，所以“展开”后的图形中必须有AA₁、C₁B₁，画出图形，分类求出结果，找出最短路径．

解答 解：题中E、F分别在AA₁、C₁B₁上，所以“展开”后的图形中必须有AA₁、C₁B₁；故“展开”方式有以下四种：
（ⅰ）沿CC₁将面ACC₁A₁和面BCC₁B₁展开至同一平面，如图1，求得：EF²=4+18=22；
（ⅱ）沿BB₁将面ABB₁A₁和面BCC₁B₁展开至同一平面，如图2，求得：EF²=8+16=24；
（ⅲ）沿A₁B₁将面ABB₁A₁和面A₁B₁C₁展开至同一平面，如图3，求得：EF²=4+18=22；
（ⅳ）沿A₁C₁将面ACC₁A₁和面A₁C₁B₁展开至同一平面，如图4，求得：EF²=18；
比较可得（ⅳ）情况下，EF的值最小；
故EF的最小值为3$\sqrt{2}$．

故选C．

点评 本题考查把两个平面展开在同一个平面内的方法，利用勾股定理求线段的长度，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．