Question

16．已知n=3${∫}_{1}^{e}$$\frac{1}{x}$dx，在（x+2$\sqrt{x}$+1）ⁿ的展开式中，x²的系数是15（用数字填写答案）

Answer 1

分析 利用查定积分求得n的值，再利用二项展开式的通项公式求得x²的系数．

解答 解：n=3${∫}_{1}^{e}$$\frac{1}{x}$dx=3lnx${|}_{1}^{e}$=3，在（x+2$\sqrt{x}$+1）ⁿ=（x+2$\sqrt{x}$+1）³=（$\sqrt{x}$+1）⁶的展开式中，
通项公式为T_r+1=${C}_{6}^{r}$•${（\sqrt{x}）}^{6-r}$，令6-r=4，可得x²的系数为${C}_{6}^{2}$=15，
故答案为：15．

点评 本题主要考查定积分的求法，二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．