Question

6．已知对任意的x∈R，3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3（a，b∈R）恒成立，则当a+b取得最小值时，a的值是-$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 由题意可令sinx+cosx=-$\frac{1}{2}$，两边平方，结合二倍角正弦公式，代入原式可得a+b≥-2，考虑最小值-2，再令t=sinx+cosx，求得t的范围，化简整理可得t的二次不等式，运用判别式小于等于0，即可求得a，b的值，再代入检验即可得到a的值．

解答 解：由题意可令sinx+cosx=-$\frac{1}{2}$，
两边平方可得1+2sinxcosx=$\frac{1}{4}$，
即有sin2x=-$\frac{3}{4}$，
代入3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3，可得-$\frac{3}{2}$a-$\frac{3}{2}$b≤3，
可得a+b≥-2，
当a+b=-2时，令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
即有sin2x=t²-1，代入3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3，
可得-2bt²+3（2+b）t+3+2b≥0，对t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]恒成立，
则△=9（2+b）²+8b（3+2b）≤0，
即为（5b+6）²≤0，但（5b+6）²≥0，则5b+6=0，可得b=-$\frac{6}{5}$，a=-$\frac{4}{5}$．
而当b=-$\frac{6}{5}$，a=-$\frac{4}{5}$时，3a（sinx+cosx）+2bsin2x=-$\frac{12}{5}$t-$\frac{12}{5}$（t²-1）
=-$\frac{12}{5}$（t+$\frac{1}{2}$）²+3≤3．
所以当a+b取得最小值-2，此时a=-$\frac{4}{5}$．
故答案为：-$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用赋值法和换元法，考查三角函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，以及审题能力，属于难题．