Question

3．在△ABC中，$sinA=\frac{5}{13}$，$cosB=\frac{3}{5}$，若最大边长为63，则最小边长为25．

Answer 1

分析 根据三角函数值推出角的范围，再分类讨论得到A是锐角，再根据两角和的正弦公式求出sinC，根据正弦定理即可求出a，问题得以解决．

解答 解：若A为钝角，
∵sinA=$\frac{5}{13}$＜$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞cosB=$\frac{3}{5}$＞$\frac{1}{2}$，
∴150＜A＜180°，30°＜B＜60°，
∴A+B＞180°，矛盾，
故A为锐角，
∵sinA=$\frac{5}{13}$＜$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞cosB=$\frac{3}{5}$＞$\frac{1}{2}$，
∴0＜A＜30°＜B＜60°，且cosA=$\frac{12}{13}$，sinB=$\frac{4}{5}$
∴C为钝角，
∴c最大，最大为63，a最小，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{5}{13}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{12}{13}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{63}{65}$，
由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴a=$\frac{63}{\frac{63}{65}}$×$\frac{5}{13}$=25，故最小为a=25，
故答案为：25

点评 本题考查了同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式和诱导公式，以及正弦定理，属于中档题