Question

8．已知（ax+1）⁵的展开式中各项系数和为243，则二项式${（{\frac{3x}{a}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}}）^5}$的展开式中含x项的系数为-$\frac{45}{2}$．（用数字作答）

Answer 1

分析 首先令x=1得到a，然后写出展开式的通项，求x的系数．

解答 解：已知（ax+1）⁵的展开式中各项系数和为243，令x=1，得到（a+1）⁵=243，解得a=2，
则二项式${（{\frac{3x}{a}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}}）^5}$的展开式中通项为：${C}_{5}^{r}$•${（\frac{3x}{2}）}^{5-r}$•（-1）^r•${（\frac{1}{\root{3}{x}}）}^{r}$=（-1）^r•${C}_{5}^{r}$•${（\frac{3}{2}）}^{5-r}$•${x}^{5-\frac{4r}{3}}$，
令5-$\frac{4}{3}r$=1，得到r=3，所以含x项为：-$\frac{9}{4}$•${C}_{5}^{3}$•x=-$\frac{45}{2}$x，
所以x的系数为-$\frac{45}{2}$；
故答案为：-$\frac{45}{2}$．

点评 本题考查了二项式定理的运用；利用赋值法求出a，是解答的前提，利用通项公式求特征项是关键．