Question

17．某几何体的三视图如图所示（网络中每个小正方形的边长为1），若这个几何体的顶点都在球O的表面上，则这个球的表面积是（　　）

• A． 20π
• B． 4$\sqrt{5}$π
• C． $\frac{49π}{16}$
• D． $\frac{49π}{4}$

Answer 1

分析 由三视图画出直观图，有题意求得外接球的直径D，球O的表面积是4π×（$\sqrt{5}$）²=20π．

解答 解：由三视图得原直观图如图，原几何体为三棱锥A-BCD，满足AD⊥底面BCD，底面BDC为等腰直角三角形，
则该几何体的外接球即为以DA、DB、DC为棱的长方体的外接球，外接球的直径D满足D²=DA²+DB²+DC²=4+8+8=20，
∴外接球O的半径为$\frac{1}{2}$D=$\sqrt{5}$，
∴球O的表面积是4π×（$\sqrt{5}$）²=20π．
故选：A．

点评 本题考查三视图的应用，四面体外接球的求法，考查数形结合思想，属于中档题．