Question

6．已知函数f（x）=lnx-mx²+（1-2m）x+1．
（1）当m=1时，求函数f（x）的单调区间与极值；
（2）若m∈Z，关于x的不等式f（x）≤0恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）代入m值，求出导函数，根据导函数求出函数的单调区间和极值；
（2）求出函数的导函数，把恒成立问题转化为最值问题，根据导函数对参数m分类讨论，判断函数的最大值，使最大值小于等于零即可．

解答 （1）∵m=1时，f（x）=lnx-x²-x+1（x＞0），
∴$f'（x）=\frac{1}{x}-2x-1=\frac{{-（{2x-1}）（{x+1}）}}{x}$，
∴$x∈（{0，\frac{1}{2}}），f'（x）＞0$；$x∈（{\frac{1}{2}，+∞}）$，..，
∴f（x）的单调递增区间为$（{0，\frac{1}{2}}）$，单调递减区间为$（{\frac{1}{2}，+∞}）$，f（x）的极大值秋$f（{\frac{1}{2}}）=\frac{1}{4}-ln2$，无极小值．
（2）∵f（x）=lnx-mx²+（1-2m）x+1（x＞0），
∴$f'（x）=\frac{1}{x}-2mx+1-2m=\frac{{-2m{x^2}+（{1-2m}）x+1}}{x}$，
当m≤0时，f'（x）＞0恒成立，f（x）单调递增，无最大值，
∵f（x）≤0恒成立，
∴不成立．
当m＞0时，
∴$x∈（{0，\frac{1}{2m}}）$，f'（x）＞0；$x∈（{\frac{1}{2m}，+∞}），f'（x）＜0$，
∴f（x）在区间$（{0，\frac{1}{2m}}）$上单调递增区间$（{\frac{1}{2m}，+∞}）$上单调递减，
f（x）的最大值为$f（{\frac{1}{2m}}）≤0$，即4mln2m≥1，
∵m∈Z，
∴显然，m=1时，4ln2≥1成立，
∴m的最小值为1．

点评 考查了导函数求函数的单调性和极值，对恒成立问题的转化和对参数的分类讨论．属于常规题型，应熟练掌握．