Question

1．若点（θ，0）是函数f（x）=sinx+3cosx的一个对称中心，则cos2θ+sinθcosθ=-$\frac{11}{10}$．

Answer 1

分析 利用三角函数的图象的对称性求得tanθ的值，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得所给式子的值．

解答 解：∵点（θ，0）是函数f（x）=sinx+3cosx的一个对称中心，∴sinθ+3cosθ=0，∴tanθ=-3，
则cos2θ+sinθcosθ=$\frac{{cos}^{2}θ{-sin}^{2}θ+sinθcosθ}{{sin}^{2}θ{+cos}^{2}θ}$=$\frac{1{-tan}^{2}θ+tanθ}{{tan}^{2}θ+1}$=$\frac{1-9-3}{9+1}$=-$\frac{11}{10}$，
故答案为：$-\frac{11}{10}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象的对称性，同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．