Question

12．已知函数f（x）=e^x-f（1）x²+2f′（0）x-e（e是自然对数的底数，f′（0）是函数f（x）在x=0的导数）
（Ⅰ）求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若g（x）=$\frac{3}{2}$x²-x+1，解关于x的不等式f（x）+e≥g（x）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，令x=0，可得f′（0）=-1，求得f（x），令x=1，可得f（1）=-1，再令x=1，可得f′（1）=e，再由点斜式方程，可得切线的方程；
（Ⅱ）由题意可得原不等式即为e^x≥$\frac{1}{2}$x²+x+1，可令h（x）=e^x-（$\frac{1}{2}$x²+x+1），求出导数，判断单调性，即可得到所求解集．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=e^x-f（1）x²+2f′（0）x-e，
f′（x）=e^x-2f（1）x+2f′（0），
令x=0，可得f′（0）=e⁰+2f′（0），解得f′（0）=-1，
即有f（x）=e^x-f（1）x²-2x-e，
令x=1，可得f（1）=e-f（1）-2-e，解得f（1）=-1，
再令x=1，可得f′（1）=e-2f（1）-2=e+2-2=e，
则有函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-（-1）=e（x-1），
即为y=ex-e-1；
（Ⅱ）不等式f（x）+e≥g（x），
即为e^x+x²-2x≥$\frac{3}{2}$x²-x+1，
即有e^x≥$\frac{1}{2}$x²+x+1，
可令h（x）=e^x-（$\frac{1}{2}$x²+x+1），h′（x）=e^x-x-1，
再令m（x）=e^x-x-1，m′（x）=e^x-1，
可得x＞0时，m′（x）＞0，m（x）递增；x＜0时，m′（x）＜0，m（x）递减．
即有m（x）在x=0处取得最小值0，即m（x）≥0，
即有h′（x）≥0，h（x）在R上递增，
由e^x≥$\frac{1}{2}$x²+x+1，即为h（x）=e^x-（$\frac{1}{2}$x²+x+1）≥0=h（0），
解得x≥0，即不等式的解集为[0，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查构造函数法，运用单调性解不等式，属于中档题．