Question

4．给出下列四个命题：
①“若x₀为y=f（x）的极值点，则f′（x₀）=0”的逆命题为真命题；
②“平面向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角是钝角”的充分不必要条件是$\overrightarrow a•\overrightarrow b＜0$
③若命题$p：\frac{1}{x-1}＞0$，则$?p：\frac{1}{x-1}≤0$；
④命题“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R均有x²+x+1≥0”．
其中不正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由极值的概念和函数f（x）=x³，求出导数，即可判断①；
由“平面向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角是钝角”?“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线”，结合充分必要条件的定义即可判断②；
由命题的否定，对结论否定，即可判断③；由特称命题的否定为全称命题，即可判断④．

解答 解：对于①，“若x₀为y=f（x）的极值点，则f′（x₀）=0”的逆命题为“若f′（x₀）=0，则x₀为y=f（x）的极值点”不正确，
比如f（x）=x³，f′（x）=3x²，f′（x₀）=0，可得x₀=0，不为极值点，故①错；
对于②，“平面向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角是钝角”?“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线”，
则“平面向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角是钝角”的必要不充分条件是$\overrightarrow a•\overrightarrow b＜0$，故②错；
对于③，若命题$p：\frac{1}{x-1}＞0$，则$?p：\frac{1}{x-1}≤0$，或x=1．故③错；
对于④，命题“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R均有x²+x+1≥0”．
故④正确．
其中不正确的个数为3．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断，考查导数的运用：求极值，命题的否定，平面向量的夹角为钝角的条件，考查判断和推理能力，属于基础题．