Question

19．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E，F为AD上的两个三等分点．若$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CE}=\frac{7}{8}$，$BC=\frac{{\sqrt{26}}}{2}$，则$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CF}$=-$\frac{17}{8}$．

Answer 1

分析 根据向量的加减的几何意义和向量的数量积即可求出．

解答 解：D为BC的中点，E，F为AD上的两个三等分点，
∴$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{CE}$=-$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DE}$，
∴$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CE}$=${\overrightarrow{DE}}^{2}$-${\overrightarrow{BD}}^{2}$=$\frac{7}{8}$，
∴$\overrightarrow{DE}$²=$\frac{7}{8}$+$\frac{13}{4}$=$\frac{33}{8}$，
∵$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{BD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{CF}$=-$\overrightarrow{BD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DE}$，
∴$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{4}$${\overrightarrow{DE}}^{2}$-${\overrightarrow{BD}}^{2}$=$\frac{1}{4}$×$\frac{33}{8}$-$\frac{13}{4}$=-$\frac{17}{8}$，
故答案为：-$\frac{17}{8}$．

点评 本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．