Question

7．数列{a_n}满足a₂=2，a_n+2+（-1）ⁿ⁺¹a_n=1+（-1）ⁿ（n∈N^*），S _n为数列{a_n}前n项和，S₁₀₀=（　　）

• A． 5100
• B． 2550
• C． 2500
• D． 2450

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₂=2，a_n+2+（-1）ⁿ⁺¹a_n=1+（-1）ⁿ（n∈N^*），n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2-a_2k=2，因此数列{a_2k}为等差数列，首项为2，公差为2．n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1+a_2k-1=0．通过分组求和，利用等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：数列{a_n}满足a₂=2，a_n+2+（-1）ⁿ⁺¹a_n=1+（-1）ⁿ（n∈N^*），
n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2-a_2k=2，因此数列{a_2k}为等差数列，首项为2，公差为2．
n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1+a_2k-1=0．
∴S₁₀₀=（a₁+a₃+…+a₉₇+a₉₉）+（a₂+a₄+…+a₁₀₀）
=0+2×50+$\frac{50×49}{2}×2$=2550．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、分类讨论方法、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．