Question

13．在直角坐标系xOy中，已知定圆M：（x+1）²+y²=36，动圆N过点F（1，0）且与圆M相切，记动圆圆心N的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设A，P是曲线C上两点，点A关于x轴的对称点为B（异于点P），若直线AP，BP分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意，|NM|+|NF|=6＞|FM|，由椭圆定义知，圆心N的轨迹为椭圆，且2a=6，c=1，即可求曲线C的方程；
（2）$|{OS}|•|{OT}|=|{{x_S}{x_T}}|=|{\frac{{{x_0}{y_1}-{x_1}{y_0}}}{{{y_1}-{y_0}}}•\frac{{{x_0}{y_1}+{x_1}{y_0}}}{{{y_1}+{y_0}}}}|=|{\frac{{{x_0}^2{y_1}^2-{x_1}^2{y_0}^2}}{{{y_1}^2-{y_0}^2}}}|$，即可证明结论．

解答 解：（1）因为点F（1，0）在M：（x+1）²+y²=36内，所以圆N内切于圆M，则|NM|+|NF|=6＞|FM|，
由椭圆定义知，圆心N的轨迹为椭圆，且2a=6，c=1，则a²=9，b²=8，
所以动圆圆心N的轨迹方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$．
（2）设P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），S（x_S，0），T（x_T，0），则B（x₁，-y₁），
由题意知x₀≠±x₁．则${k_{AP}}=\frac{{{y_1}-{y_0}}}{{{x_1}-{x_0}}}$，直线AP方程为y-y₁=k_AP（x-x₁），
令y=0，得${x_S}=\frac{{{x_0}{y_1}-{x_1}{y_0}}}{{{y_1}-{y_0}}}$，同理${x_T}=\frac{{{x_0}（{-{y_1}}）-{x_1}{y_0}}}{{（{-{y_1}}）-{y_0}}}=\frac{{{x_0}{y_1}+{x_1}{y_0}}}{{{y_1}+{y_0}}}$，
于是$|{OS}|•|{OT}|=|{{x_S}{x_T}}|=|{\frac{{{x_0}{y_1}-{x_1}{y_0}}}{{{y_1}-{y_0}}}•\frac{{{x_0}{y_1}+{x_1}{y_0}}}{{{y_1}+{y_0}}}}|=|{\frac{{{x_0}^2{y_1}^2-{x_1}^2{y_0}^2}}{{{y_1}^2-{y_0}^2}}}|$，
又P（x₀，y₀）和A（x₁，y₁）在椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$上，
故${y_0}^2=8（{1-\frac{{{x_0}^2}}{9}}），{y_1}^2=8（{1-\frac{{{x_1}^2}}{9}}）$，则${y_1}^2-{y_0}^2=\frac{8}{9}（{{x_0}^2-{x_1}^2}），{x_0}^2{y_1}^2-{x_1}^2{y_0}^2=8{x_0}^2（{1-\frac{{{x_1}^2}}{9}}）-8{x_1}^2（{1-\frac{{{x_0}^2}}{9}}）=8（{{x_0}^2-{x_1}^2}）$．
所以$|{OS}|•|{OT}|=|{\frac{{{x_0}^2{y_1}^2-{x_1}^2{y_0}^2}}{{{y_1}^2-{y_0}^2}}}|=|{\frac{{8（{{x_0}^2-{x_1}^2}）}}{{\frac{8}{9}（{{x_0}^2-{x_1}^2}）}}}|=9$．

点评 本题考查椭圆的定义与方程，考查定值的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．