Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点A（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l过点M（0，2），且与椭圆C交于P、Q（异于椭圆C的顶点）两点
（i）求△OPQ面积的最大值（O为坐标点）；
（ii）在y轴上是否存在定点N，使得$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{NQ}$为定值？如果存在，求出定点与定值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式，将A代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）（i）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，根据基本不等式的性质，即可求得△OPQ面积的最大值；
（ii）求得向量$\overrightarrow{NP}$，$\overrightarrow{NQ}$，根据向量数量积的坐标运算，即可求得，根据相似的性质，即可求得m的值，及$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{NQ}$定值．

解答 解：（1）由题意的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a²=4b²，
将A（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得：b=1，a=2，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）（i）设直线l方程：y=kx+2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²+16kx+12=0，
△=（16k）²-4（1+4k²）×12=16（4k²-3）＞0，
则x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
丨PQ丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{4{k}^{2}-3}}{1+4{k}^{2}}$，
O到直线PQ的距离d=$\frac{丨0-k×0-2丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
△OPQ面积的最大值S=$\frac{1}{2}$×丨PQ丨×d=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{4{k}^{2}-3}}{1+4{k}^{2}}$×$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{4{k}^{2}-3}}{1+4{k}^{2}}$
=4×$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-3}}{4{k}^{2}-3+4}$=4×$\frac{1}{\sqrt{4{k}^{2}-3}+\frac{4}{\sqrt{4{k}^{2}-3}}}$≤4×$\frac{1}{2\sqrt{\sqrt{4{k}^{2}-3}×\frac{4}{\sqrt{4{k}^{2}-3}}}}$=1，
∴△OPQ面积的最大值1；
（ii）假设存在点N（0，m），使得$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{NQ}$为定值，
则$\overrightarrow{NP}$=（x₁，y₁-m），$\overrightarrow{NQ}$=（x₂，y₂-m），
则$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{NQ}$=x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）=x₁x₂+y₁y₂-m（y₁+y₂）+m²
=x₁x₂+k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4-m[k（x₁+x₂）+4]+m²，
=（1+k²）x₁x₂+k（2-m）（x₁+x₂）+m²-4m+4，
=（1+k²）（$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$）+k（2-m）（-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$）+m²-4m+4，
=$\frac{4（{m}^{2}-1）{k}^{2}+{m}^{2}-4m+16}{1+4{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{NQ}$为定值，则4（m²-1）=4（m²-4m+16），
解得：m=$\frac{17}{4}$，则$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{NQ}$=$\frac{273}{16}$，
∴存在点N（0，$\frac{17}{4}$），使得使得$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{NQ}$=$\frac{273}{16}$为定值．

点评 本题考查椭圆的椭圆方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算及基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．