Question

8．若x、y满足x²+y²-2x+4y-20=0，则x²+y²的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{5}$-5
• B． 5-$\sqrt{5}$
• C． 30-10$\sqrt{5}$
• D． 无法确定

Answer 1

分析 把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径r，设圆上一点的坐标为（x，y），原点坐标为（0，0），则x²+y²表示圆上一点和原点之间的距离的平方，根据图象可知此距离的最小值为圆的半径r减去圆心到原点的距离，利用两点间的距离公式求出圆心到原点的距离，利用半径减去求出的距离，然后平方即为x²+y²的最小值．

解答 解：把圆的方程化为标准方程得：
（x-1）²+（y+2）²=25，则圆心A坐标为（1，-2），圆的半径r=5，
设圆上一点的坐标为（x，y），原点O坐标为（0，0），
则|AO|=$\sqrt{5}$，|AB|=r=5，
所以|BO|=|AB|-|OA|=5-$\sqrt{5}$．
则x²+y²的最小值为（5-$\sqrt{5}$）²=30-10$\sqrt{5}$．
故选C．

点评 此题考查学生会把圆的一般方程化为圆的标准方程并会由圆的标准方程找出圆心坐标与半径，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．