Question

18．如图，设点A，F₁，F₂分别为椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左顶点和左，右焦点，过点A作斜率为k的直线交椭圆于另一点B，连接BF₂并延长交椭圆于点C．
（1）求点B的坐标（用k表示）；
（2）若F₁C⊥AB，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设点B（x_B，y_B），直线AB的方程为y=k（x+2），与椭圆的方程联立解可得x_B的值，将x_B的值代入直线方程可得y_B的值，即可得答案；
（2）由椭圆的标准方程可得F₂坐标，由直线的点斜式方程可得直线BF₂，CF₁方程，联立可得C（8k²-1，-8k），代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中解可得k²的值，即可得答案．

解答 解：（1）设点B（x_B，y_B），直线AB的方程为y=k（x+2），
联立$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$得，（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
∴$-2{x_B}=\frac{{16{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，即${x_B}=\frac{{-8{k^2}+6}}{{3+4{k^2}}}$，
∴${y_B}=k（{x_B}+2）=\frac{12k}{{3+4{k^2}}}$，
即$B（\frac{{-8{k^2}+6}}{{3+4{k^2}}}，\frac{12k}{{3+4{k^2}}}）$．
（2）易知F₂（1，0），${k_{B{F_2}}}=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}$，${k_{C{F_1}}}=-\frac{1}{k}$，
所以直线BF₂，CF₁方程分别为$y=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}（x-1）$，$y=-\frac{1}{k}（x+1）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}（x+1）}\\{y=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}（x-1）}\end{array}}\right.$，解得C（8k²-1，-8k），
代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
得192k⁴+208k²-9=0，即（24k²-1）（8k²+9）=0，
得${k^2}=\frac{1}{24}$，
所以$k=±\frac{{\sqrt{6}}}{12}$．

点评 本题考查椭圆的几何性质，关键是由椭圆的标准方程求出点A，F₁，F₂的坐标．