Question

3．已知点P（x，y）的坐标满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤3}\\{y≤3x}\\{x+2y-2≥0}\end{array}\right.$，O为坐标原点，则|$\overrightarrow{OP}$|的最小值等于（　　）

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，再由$|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的几何意义，即原点到直线的距离求解．

解答 解：∵P（x，y），∴$|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤3}\\{y≤3x}\\{x+2y-2≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

原点O到直线x+2y-2=0的距离d=$\frac{|-2|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴|$\overrightarrow{OP}$|的最小值等于$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．