Question

10．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法-“三斜求积术”，即△ABC的面积S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{a}^{2}{c}^{2}-（\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2}）^{2}}]$．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若b=2，且tanC=$\frac{\sqrt{3}sinB}{1-\sqrt{3}cosB}$，则△ABC的面积S的最大值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由已知利用正弦定理可求c=$\sqrt{3}$a，代入“三斜求积”公式即可计算得解．

解答 解：∵tanC=$\frac{\sqrt{3}sinB}{1-\sqrt{3}cosB}$，
∴sinC=$\sqrt{3}$sin（B+C）=$\sqrt{3}$sinA，
∴c=$\sqrt{3}$a，
∵b=2，
∴S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{a}^{2}{c}^{2}-（\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2}）^{2}}]$=$\sqrt{\frac{1}{4}[3{a}^{4}-（2{a}^{2}-2）^{2}]}$=$\sqrt{-\frac{1}{4}（{a}^{2}-4）^{2}+5}$，
∴a=2时，△ABC的面积S的最大值为$\sqrt{5}$，
故答案为$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．