Question

1．已知Rt△ABC中，AB=3，AC=1，$∠A=\frac{π}{2}$，以B，C为焦点的双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）经过点A，且与AB边交于点D，若$\frac{{|{AD}|}}{{|{BD}|}}$的值为（　　）

• A． $\frac{7}{2}$
• B． 3
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 运用双曲线定义，可得2a=3-1=2，设|BD|=t，运用双曲线的定义，求得|DC|，|AD|，再由直角三角形的勾股定理，解方程可得t，进而得到|AD|，即可得到答案．

解答 解：如图，双曲线的焦点为B（-c，0），C（c，0），
由双曲线的定义可得|AB|-|AC|=2a=3-1=2，
设|BD|=t，由双曲线的定义可得|DC|=2a+|BD|=2a+t=2+t，
又|AD|=3-t，
在直角三角形ACD中，|AC|²+|AD|²=|CD|²，
即为1+（3-t）²=（2+t）²，
解得t=0.6，|AD|=3-0.6=2.4．
则$\frac{{|{AD}|}}{{|{BD}|}}$的值为$\frac{2.4}{0.6}$=4．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的定义的运用，考查直角三角形的勾股定理，以及化简整理的运算能力，属于中档题．