Question

11．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}m{log_{2017}}x+3sinx，x＞0\\{log_{2017}}（-x）+nsinx，x＜0\end{array}\right.$为偶函数，则m-n=（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． -2
• D． -4

Answer 1

分析 根据题意，设x＞0，则有（-x）＜0，由函数f（x）的解析式可得f（x）=mlog₂₀₁₇x+3sinx以及f（-x）=log₂₀₁₇[-（-x）]+nsin（-x）=log₂₀₁₇x-nsinx，结合函数的奇偶性可得mlog₂₀₁₇x+3sinx=log₂₀₁₇x-nsinx，分析可得m、n的值，计算可得m-n的值．

解答 解：根据题意，设x＞0，（-x）＜0，
又由$f（x）=\left\{\begin{array}{l}m{log_{2017}}x+3sinx，x＞0\\{log_{2017}}（-x）+nsinx，x＜0\end{array}\right.$，
则f（x）=mlog₂₀₁₇x+3sinx，
则f（-x）=log₂₀₁₇[-（-x）]+nsin（-x）=log₂₀₁₇x-nsinx，
又由函数f（x）为偶函数，则有f（-x）=f（x），
即mlog₂₀₁₇x+3sinx=log₂₀₁₇x-nsinx，
则有m=1，n=-3；
则m-n=1-（-3）=4；
故选：A．

点评 本题考查函数奇偶性的性质，涉及分段函数的应用，关键是理解函数奇偶性的定义．