Question

16．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形AA₁BB₁是菱形，∠BB₁A₁=$\frac{π}{3}，{C_1}{B_1}⊥面A{A_1}B{B_1}$，二面角C-A₁B₁-B为$\frac{π}{6}$，CB=1．
（Ⅰ）求证：平面ACB₁⊥平面CBA₁；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明CB⊥AB₁，AB₁⊥A₁B，推出AB₁⊥面A₁BC，然后证明平面ACB₁⊥平面CBA₁
（Ⅱ）说明∠CDB为二面角C-A₁B₁-B的平面角，过AB₁，A₁B交点O作OE⊥A₁C，垂足为E，连AE，说明∠AEO为二面角A-A₁C-B的平面角然后求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，由C₁B₁⊥面AA₁BB₁
得CB⊥面AA₁BB₁，则CB⊥AB₁，…（2分）
又AA₁BB₁是菱形，得AB₁⊥A₁B，而CB∩A₁B=B，
则AB₁⊥面A₁BC，…（4分）
故平面ACB₁⊥平面CBA₁．…（5分）
（Ⅱ）由题意得△A₁B₁B为正三角形，
取A₁B₁得中点为D，连CD，BD，
则BD⊥A₁B₁，又CB⊥A₁B₁
易得CD⊥A₁B₁，则∠CDB为二面角C-A₁B₁-B的平面角，
因BC=1，∠CDB=$\frac{π}{6}$，所以$BD=\sqrt{3}$，
所以A₁B₁=BB₁=A₁B=2
过AB₁，A₁B交点O作OE⊥A₁C，垂足为E，连AE
则∠AEO为二面角A-A₁C-B的平面角，…（9分）
又$OE=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，AO=\sqrt{3}$得$AE=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
所以$cos∠AEO=\frac{1}{4}$…（12分）
另：建系用向量法相应给分．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力逻辑推理能力以及计算能力．