Question

1．已知P是△ABC所在平面内一点，$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+4\overrightarrow{PA}=\overrightarrow 0$，现在△ABC内任取一点，则该点落在△PBC内的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P到BC的距离等于A到BC的距离的$\frac{1}{3}$．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得本题的答案．

解答 解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PD}$，
∵$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+4$\overrightarrow{PA}$=0，
∴$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=-4$\overrightarrow{PA}$，
得：$\overrightarrow{PD}$=-4$\overrightarrow{PA}$，
由此可得，点P到BC的距离等于A到BC的距离的$\frac{1}{3}$．
∴S_△PBC=$\frac{1}{3}$S_△ABC．
将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P=$\frac{{S}_{△PBC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{3}$，
故选：B．

点评 本题给出点P满足的条件，求P点落在△PBC内的概率，着重考查了平面向量加法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题．