Question

10．已知a∈R，若$f（x）=（\frac{1}{x}+a）{e^x}$在区间（0，1）上有且只有一个极值点，则a的取值范围是（　　）

• A． a＜0
• B． a＞0
• C． a≤1
• D． a≥0

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为f′（x）=0在（0，1）上有且只有一个零点，根据零点定理判断即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$（ax²+x-1），
若f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，
则f′（x）=0在（0，1）上有且只有一个零点，
显然$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$＞0，
问题转化为g（x）=ax²+x-1在（0，1）上有且只有一个零点，
故g（0）•g（1）＜0，即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜0}\\{a+1-1＞0}\end{array}\right.$，
解得：a＞0，
故选：B．

点评 本题考查了函数的零点问题，考查函数的单调性问题，是一道中档题．