Question

2．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且$\frac{{a}_{n}+1}{6}$=$\frac{{S}_{n}+n}{{S}_{n+1}-{S}_{n}+1}$，a₁=m，现有如下说法：
①a₂=5；
②当n为奇数时，a_n=3n+m-3；
③a₂+a₄+…+a_2n=3n²+2n．
则上述说法正确的个数为（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 $\frac{{a}_{n}+1}{6}$=$\frac{{S}_{n}+n}{{S}_{n+1}-{S}_{n}+1}$，a₁=m，可得（a_n+1+1）（a_n+1）=6（S_n+n），n=1时，（a₂+1）×（m+1）=6（m+1），可得a₂=5．n≥2时，（a_n+1）（a_n-1+1）=6（S_n-1+n-1），可得（a_n+1）（a_n+1-a_n-1）=6a_n+6，a_n＞0，a_n+1-a_n-1=6．再利用等差数列的通项公式与求和公式即可判断出②③的正误．

解答 解：$\frac{{a}_{n}+1}{6}$=$\frac{{S}_{n}+n}{{S}_{n+1}-{S}_{n}+1}$，a₁=m，
∴（a_n+1+1）（a_n+1）=6（S_n+n），
①n=1时，（a₂+1）×（m+1）=6（m+1），∵m+1＞0时，∴a₂=5．
②n≥2时，（a_n+1）（a_n-1+1）=6（S_n-1+n-1），
∴（a_n+1）（a_n+1-a_n-1）=6a_n+6，a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-1=6．
∴当n=2k-1（k∈N^*）为奇数时，数列{a_2k-1}为等差数列，∴a_n=a_2k-1=m+（k-1）×6=3n+m-3．
③当n=2k（k∈N^*）为偶数时，数列{a_2k}为等差数列，∴a_n=a_2k=5+（k-1）×6=3n-1．
∴a₂+a₄+…+a_2n=6×（1+2+…+n）-n=$6×\frac{n（1+n）}{2}$-n=3n²+2n．
因此①②③都正确．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．