Question

7．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知${（{{a_5}-1}）^3}+3{a_5}=4$，${（{{a_8}-1}）^3}+3{a_8}=2$，则下列选项正确的是（　　）

• A． S₁₂=12，a₅＞a₈
• B． S₁₂=24，a₅＞a₈
• C． S₁₂=12，a₅＜a₈
• D． S₁₂=24，a₅＜a₈

Answer 1

分析 构造函数f（x）=x³+3x，判断奇偶性，单调性，得出f（x）是奇函数，a₈+a₂₀₀₈=2，a₈＞a₂₀₀₈，即可判断答案．

解答 解：设f（x）=x³+3x，
∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数，
∵f′（x）=3x²+3＞0，
∴f（x）=x³+3x在R上单调递增，
∵${（{{a_5}-1}）^3}+3{a_5}=4$，${（{{a_8}-1}）^3}+3{a_8}=2$，
∴f（a₅-1）=1，f（a₈-1）=-1，
∴a₅＞a₈，a₅+a₈=2，
∵等差数列{a_n}，
∴S₁₂=12•$\frac{{a}_{1}+{a}_{8}}{2}$=12．
故选：A．

点评 本题考查了函数的性质在数列中的应用，属于中档题．