Question

19．已知函数f（x）=|x-$\frac{5}{2}$|+|x-a|，x∈R
（Ⅰ）当a=-$\frac{1}{2}$时，求不等式f（x）＞4的解集；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=-$\frac{1}{2}$时，分类讨论，化为具体不等式，即可求不等式f（x）＞4的解集；
（Ⅱ）f（x）=|x-$\frac{5}{2}$|+|x-a|≥|a-$\frac{5}{2}$|，关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，化为a≤|a-$\frac{5}{2}$|，即可求实数a的最大值．

解答 解：（Ⅰ）当a=-$\frac{1}{2}$时，f（x）=|x-$\frac{5}{2}$|+|x+$\frac{1}{2}$|，
x＜-$\frac{1}{2}$时，不等式化为-x+$\frac{5}{2}$-x-$\frac{1}{2}$＞4，∴x＜-1，∴x＜-1；
-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{5}{2}$时，不等式化为-x+$\frac{5}{2}$+x+$\frac{1}{2}$＞4，无解；
x＞$\frac{5}{2}$时，不等式化为x-$\frac{5}{2}$+x+$\frac{1}{2}$＞4，∴x＞3，∴x＞3；
综上所述，不等式的解集为{x|x＜-1或x＞3}；
（Ⅱ）f（x）=|x-$\frac{5}{2}$|+|x-a|≥|a-$\frac{5}{2}$|，
∵关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，
∴a≤|a-$\frac{5}{2}$|，
∴a≤$\frac{5}{4}$，
∴实数a的最大值为$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．