Question

11．已知：（log_ax）′=$\frac{1}{xlna}$，f′（x）是定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数，若方程f′（x）=0无解，且对?x∈（0，+∞），f[f（x）-log₂₀₁₆x]=2017，设关于x的方程f（x）+f′（x）=t有解，则t的取值范围是（　　）

• A． [2016+$\frac{1}{ln2016}$，+∞）
• B． （2016+$\frac{1}{ln2016}$，+∞）
• C． [2016-$\frac{1}{ln2016}$，+∞）
• D． （2016-$\frac{1}{ln2016}$，+∞）

Answer 1

分析 方程f′（x）=0无解，可得f（x）是单调函数，由题意得对?x∈（0，+∞），f[f（x）-log₂₀₁₆x]=2017，
f（x）-log₂₀₁₆x是定值，设f（x）=m+log₂₀₁₆x，可得f（x）为增函数，而m=2016时，f（2016）=2016+log₂₀₁₆2016=2017，因此m=2016．再利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：∵方程f′（x）=0无解，
∴f′（x）＞0或f′（x）＜0，
∴f（x）是单调函数，
由题意得对?x∈（0，+∞），f[f（x）-log₂₀₁₆x]=2017，
又f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
∴f（x）-log₂₀₁₆x是定值，
设m=f（x）-log₂₀₁₆x，
则f（x）=m+log₂₀₁₆x，∴f（x）为增函数，
而m=2016时，f（2016）=2016+log₂₀₁₆2016=2017，
∴m=2016．
∴f（x）=2016+log₂₀₁₆x，
∵f（x）+f′（x）=t有解，
即2016+log₂₀₁₆x+$\frac{1}{xln2016}$=t有解．
t′=$\frac{1}{xln2016}-\frac{1}{{x}^{2}ln2016}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}ln2016}$，
可知：x=1时，函数t（x）取得极小值即最小值，t（1）=2016+$\frac{1}{ln2016}$．
∴t≥2016+$\frac{1}{ln2016}$．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数与方程的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．