Question

6．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=135°，PA⊥底面ABCD，AB=AC=PA=1，E，F分別是BC，AD的中点，点M在线段PD上．
（1）求证：平面PAC⊥平面EFM；
（2）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）证明AB⊥AC．EF⊥AC，PA⊥EF．推出EF⊥平面PAC．然后证明平面PAC⊥平面EFM．
（2）设点A到平面PBC的距离为d，利用${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{AB}|×|{AC}|=\frac{1}{2}$，由等体积法，转化求解点到平面的距离．

解答 （1）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=BC，∠BAD=135°，所以AB⊥AC．
又因为E，F分别为BC，AD的中点，所以可得得EF∥AB，所以EF⊥AC
又因为PA⊥底面ABCD，EF在底面ABCD内，所以PA⊥EF．
又因为PA∩AC=A，PA⊆平面PAC，AC⊆平面PAC，所以EF⊥平面PAC．
又因为EF⊆平面EFM，所以平面PAC⊥平面EFM．
（2）设点A到平面PBC的距离为d，
由（1）可知三角形ABC为等腰直角三角形，可求${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{AB}|×|{AC}|=\frac{1}{2}$，
又因为PA⊥底面ABCD，可求三角形PBC是边长为$\sqrt{2}$的正三角形，
可求${S_{△PBC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{|{BC}|^2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
所以由${V_{P-ABC}}={V_{A-PBC}}，可得\frac{1}{3}×|{PA}|×{S_{△ABC}}=\frac{1}{3}×d×{S_{△PBC}}$，
所以，$d=\frac{{|{PA}|×{S_{△ABC}}}}{{{S_{△PBC}}}}=\frac{{1×\frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平面与平面垂直的判定定理的应用，点到平面的距离距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．