Question

1．已知函数f（x）=$\frac{x}{lnx}$-ax+b在点（e，f（e））处的切线方程为y=-ax+2e．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）若存在x∈[e，e²]，满足f（x）≤$\frac{1}{4}$+e，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导，利用导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求得实数b的值；
（Ⅱ）则a≥$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{4x}$在[e，e²]上有解，构造辅助函数，求导，利用导数与函数单调性的关系，求得h（x）的取值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{x}{lnx}$-ax+b，x∈（0，1）∪（1，+∞），
求导，f′（x）=$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}$-a，
则函数f（x）在点（e，f（e））处切线方程y-（e-ex+b）=-a（x-e），
即y=-ax+e+b，
由函数f（x）在（e，f（e））处的切线方程为y=-ax+2e，比较可得b=e，
实数b的值e；
（Ⅱ）由f（x）≤$\frac{1}{4}$+e，即$\frac{x}{lnx}$-ax+e≤$\frac{1}{4}$+e，
则a≥$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{4x}$在[e，e²]，上有解，
设h（x）=$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{4x}$，x∈[e，e²]，
求导h′（x）=$\frac{1}{4{x}^{2}}$-$\frac{1}{xl{n}^{2}x}$=$\frac{l{n}^{2}x-4x}{4{x}^{2}l{n}^{2}x}$=$\frac{（lnx+2\sqrt{x}）（lnx-2\sqrt{x}）}{4{x}^{2}l{n}^{2}x}$，
令p（x）=lnx-2$\sqrt{x}$，
∴x在[e，e²]时，p′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$=$\frac{1-\sqrt{x}}{x}$＜0，
则函数p（x）在[e，e²]上单调递减，
∴p（x）＜p（e）=lne-2$\sqrt{e}$＜0，
则h′（x）＜0，及h（x）在区间[e，e²]单调递减，
h（x）≥h（e²）=$\frac{1}{ln{e}^{2}}$-$\frac{1}{4{e}^{2}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{e}^{2}}$，
∴实数a的取值范围[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{e}^{2}}$，+∞]．

点评 本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，利用导数求函数的切线方程，利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．