Question

5．某市举行“中学生诗词大赛”海选，规定：成绩大于或等于90分的具有参赛资格．某校有800名学生参加了海选，所有学生的成绩均在区间[30，150]内，其频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求获得参赛资格的人数；
（Ⅱ）若大赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛．已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为$\frac{1}{9}$，求甲在初赛中答题个数X的分布列及数学期望E（X）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意计算成绩在[90，110）之间的频率，求出获得参赛资格的人数；
（Ⅱ）求出甲答对每一个问题的概率p，得出甲在初赛中答题个数X的所有取值，
计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，成绩在[90，110）之间的频率为
1-20×（0.0025+0.005+0.0075×2+0.0125）=0.3，
0.3+（0.0125+0.0050）×20=0.65，
故所求获得参赛资格的人数为800×0.65=520；
（Ⅱ）设甲答对每一个问题的概率为p，则（1-p）²=$\frac{1}{9}$，
∴p=$\frac{2}{3}$，
甲在初赛中答题个数X的所有取值为3，4，5；
则P（X=3）=${（\frac{2}{3}）}^{3}$+${（\frac{1}{3}）}^{3}$=$\frac{1}{3}$；
P（X=4）=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$+${C}_{3}^{2}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{27}$；
P（X=5）=${C}_{4}^{2}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$${（\frac{1}{3}）}^{2}$=$\frac{8}{27}$；
故X的分布列为：

X	3	4	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{10}{27}$	$\frac{8}{27}$

数学期望为E（X）=3×$\frac{1}{3}$+4×$\frac{10}{27}$+5×$\frac{8}{27}$=$\frac{107}{27}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是基础题．