Question

10．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，并且a₂=2，S₅=15，数列{b_n}满足${b_n}=2-\frac{n+2}{2^n}（{n∈{N^+}}）$，记集合$M=\left\{{n|\frac{{2{S_n}（{2-{b_n}}）}}{n+2}≥λ，n∈{N^*}}\right\}$，若M的子集个数为16，则实数λ的取值范围为$\frac{15}{16}$＜λ≤1．

Answer 1

分析 根据等差数列的通项公式与前n项和求出S_n，化简集合M，构造函数f（n）=$\frac{{n}^{2}+n}{{2}^{n}}$，n∈N^*，
研究函数f（n）=$\frac{{n}^{2}+n}{{2}^{n}}$的单调性，求出不等式$\frac{{n}^{2}+n}{{2}^{n}}$≥λ，n∈N⁺解的个数，
从而得出λ的取值范围．

解答 解：设数列{a_n}的公差为d，
∵等差数列{a_n|的前n项和为S_n，并且a₂=2，S₅=15，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=2}\\{{5a}_{1}+10d=15}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴a_n=n，
∴S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$．
∵数列{b_n}满足${b_n}=2-\frac{n+2}{2^n}（{n∈{N^+}}）$，
集合$M=\left\{{n|\frac{{2{S_n}（{2-{b_n}}）}}{n+2}≥λ，n∈{N^*}}\right\}$，
得$\frac{{（n}^{2}+n）•\frac{n+2}{{2}^{n}}}{n+2}$=$\frac{{n}^{2}+n}{{2}^{n}}$≥λ，n∈N^*；
令f（n）=$\frac{{n}^{2}+n}{{2}^{n}}$，n∈N^*，
则f（1）=1，f（2）=$\frac{3}{2}$，f（3）=$\frac{3}{2}$，f（4）=$\frac{5}{4}$，f（5）=$\frac{15}{16}$．
下面研究数列f（n）=$\frac{{n}^{2}+n}{{2}^{n}}$的单调性，
∵f（n+1）-f（n）=$\frac{{（n+1）}^{2}+（n+1）}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{n}^{2}+n}{{2}^{n}}$=$\frac{（n+1）（2-n）}{{2}^{n+1}}$，
∴n≥3时，f（n+1）-f（n）＜0，f（n+1）＜f（n），即f（n）单调递减．
∵M的子集个数为16，∴2ⁿ=16，解得n=4，
∴集合M的元素个数为4；
∴不等式$\frac{{n}^{2}+n}{{2}^{n}}$≥λ，n∈N⁺解的个数为4，
∴λ的取值范围是$\frac{15}{16}＜λ≤1$．
故答案为：$\frac{15}{16}$＜λ≤1．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式，数列的单调性与集合的性质，是综合题．