Question

2．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}=1（a＞\sqrt{3}）$的右焦点为F，右顶点为A，设离心率为e，且满足$\frac{1}{{|{OF}|}}+\frac{1}{{|{OA}|}}=\frac{3e}{{|{AF}|}}$，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（0，1）的直线l与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，结合题意分析可得$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}=\frac{3e}{a-c}$，结合椭圆的几何性质可得a、b的值，代入椭圆的方程即可得答案；
（Ⅱ）由题意分析可得直线l与x轴不垂直，设其方程为y=kx+1，联立l与椭圆C的方程，可得（4k²+3）x²+8kx-8=0，结合根与系数的关系可以用k表示|MN|与O到l的距离，由三角形面积公式计算可得△OMN的面积$S=\frac{1}{2}d|{MN}|=\frac{{2\sqrt{6}\sqrt{2{k^2}+1}}}{{4{k^2}+3}}=2\sqrt{6}\sqrt{\frac{{2{k^2}+1}}{{{{（4{k^2}+3）}^2}}}}$，由基本不等式分析可得答案．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，则|OF|=c，|OA|=a，|AF|=a-c．
所以$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}=\frac{3e}{a-c}$，其中$e=\frac{c}{a}$，
又b²=3=a²-c²，联立解得a=2，c=1．
所以椭圆C的方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．   
（Ⅱ）由题意直线不能与x轴垂直，否则将无法构成三角形．  
当直线l与x轴不垂直时，设其斜率为k，那么l的方程为y=kx+1．
联立l与椭圆C的方程，消去y，得（4k²+3）x²+8kx-8=0．
于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是△=（8k）²+32（4k²+3），这显然大于0．
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由根与系数的关系得${x_1}+{x_2}=-\frac{8k}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=-\frac{8}{{4{k^2}+3}}$．    
所以$|{MN}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{4\sqrt{6}\sqrt{2{k^2}+1}\sqrt{1+{k^2}}}}{{4{k^2}+3}}$，又O到l的距离$d=\frac{1}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$．
所以△OMN的面积$S=\frac{1}{2}d|{MN}|=\frac{{2\sqrt{6}\sqrt{2{k^2}+1}}}{{4{k^2}+3}}=2\sqrt{6}\sqrt{\frac{{2{k^2}+1}}{{{{（4{k^2}+3）}^2}}}}$；
令t=4k²+3≥3，那么$S=2\sqrt{3}\sqrt{\frac{t-1}{t^2}}=2\sqrt{3}\sqrt{-\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t}}≤\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，当且仅当t=3时取等．
所以△OMN面积的最大值是$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是由椭圆的几何性质求出椭圆的标准方程．