Question

19．在△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，BC=3，D是BC的一个三等分点，则AD的最大值是1+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据正弦定理得到三角形的外接圆的半径，即可求出AD的最大值．

解答 解：如图建立坐标系，
∴△ABC的外接圆满足2R=$\frac{3}{sin60°}$，
∴R=$\sqrt{3}$，
∵若AD取最大值，
∴A，M，D在同一直线上，
设M点坐标为（x，y），
∵MB=MC，
∴（x+$\frac{3}{2}$）²+y²=y²+（x-$\frac{3}{2}$）²=3，
解得x=0，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴△ABC的外接圆的圆心M（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵D（-$\frac{1}{2}$，0）
∴|AD|_max=|MD|+R=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$+$\sqrt{3}$=1+$\sqrt{3}$，
故答案为：1+$\sqrt{3}$

点评 本题考查了正弦定理和圆的方程的应用，属于中档题