Question

14．已知椭圆C的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过$P（{\sqrt{3}，1}）$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l，直线l与椭圆C相交于A、B两点，与圆O：x²+y²=6相交于D、E两点，当△OAB的面积最大时，求弦DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，由椭圆的定义可得$2a=\sqrt{{{（{\sqrt{3}+2}）}^2}+1}+\sqrt{{{（{\sqrt{3}-2}）}^2}+1}$，计算可得a的值，由c的值可得b的值，将a、b的值代入椭圆的标准方程即可得答案；
（2）设直线l的方程为x=ky+2，与椭圆方程联立可得（k²+3）y²+4ky-2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根与系数的关系的关系将△OAB的面积用k表示出来，令$t=\sqrt{{k^2}+1}（{t≥1}）$，借助基本不等式的性质分析可得答案．

解答 （1）根据题意，椭圆的椭圆C的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），
则其焦点在x轴上，且c=2；
设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，
依椭圆的定义可得：$2a=\sqrt{{{（{\sqrt{3}+2}）}^2}+1}+\sqrt{{{（{\sqrt{3}-2}）}^2}+1}$
$\begin{array}{l}=\sqrt{8+4\sqrt{3}}+\sqrt{8-4\sqrt{3}}\\=\sqrt{{{（{\sqrt{6}+\sqrt{2}}）}^2}}+\sqrt{{{（{\sqrt{6}-\sqrt{2}}）}^2}}\\=2\sqrt{6}\end{array}$
∴$a=\sqrt{6}$，∵c=2，∴b²=2，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）设直线l的方程为x=ky+2，代入椭圆方程c化简得：（k²+3）y²+4ky-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${y_1}+{y_2}=-\frac{4k}{{{k^2}+3}}，{y_1}{y_2}=-\frac{2}{{{k^2}+3}}$，
△OAB的面积$S=\frac{1}{2}|{OF}||{{y_1}-{y_2}}|=|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{{\sqrt{16{k^2}+8（{{k^2}+3}）}}}{{{k^2}+3}}=\frac{{2\sqrt{6}\sqrt{{k^2}+1}}}{{{k^2}+3}}$，
令$t=\sqrt{{k^2}+1}（{t≥1}）$，则$S=\frac{{2\sqrt{6}t}}{{{t^2}+2}}≤\frac{{2\sqrt{6}t}}{{2\sqrt{2}t}}=\sqrt{3}$，
当且仅当$t=\sqrt{2}$，即k=±1时取等号．
此时，直线l的方程为x=±y+2，圆心O到l的距离为$d=\sqrt{2}$，又圆半径为$\sqrt{6}$，
故所求弦长为$|{DE}|=2\sqrt{6-2}=4$．

点评 本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆与直线的位置关系，关键是利用椭圆的定义求出椭圆的标准方程．