Question

2．已知{a_n}为公差不为零的等差数列，其中a₁，a₂，a₅成等比数列，a₃+a₄=12
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，设{b_n}的前n项和为S_n，求最小的正整数n，使得S_n＞$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理可得所求和，再解不等式可得n的最小值．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
a₁，a₂，a₃成等比数列，a₃+a₄=12，
有$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{5}}\\{{a}_{3}+{a}_{4}=12}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+4d）}\\{2{a}_{1}+5d=12}\end{array}\right.$，
因为d≠0，所以解得a₁=1，d=2，
从而{a_n}的通项公式为a_n=2n-1，n∈N*．
（2）因为b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
所以前n项和为S_n=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$
=1-$\frac{1}{2n+1}$，
令1-$\frac{1}{2n+1}$＞$\frac{2016}{2017}$，解得n＞1008，
故取最小的正整数n为1009．

点评 本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．