Question

17．已知u，v是方程x²-4tx-1=0（t∈R）的两个不相等的实数根，函数f（x）=$\frac{x-2t}{2{x}^{2}+2}$的定义域为[u，v]，它的最大值、最小值分别记为f（x）_max，f（x）_min
（I）当t=0时，求f（x）_max，f（x）_min
（II）令g（t）=f（x）_max-f（x）_min，求函数g（t）的解析式．

Answer 1

分析 （I）当t=0时，u=-1，v=1，f（x）=$\frac{x}{2{x}^{2}+2}$（-1≤x≤1），确定f（x）在[-1，1]上单调递增，即可求f（x）_max，f（x）_min
（II）由题意，f′（x）=$\frac{-2（{x}^{2}-4tx+1）}{（2{x}^{2}+2）^{2}}$≥0，f（x）在[u，v]上单调递增，令g（t）=f（x）_max-f（x）_min，利用韦达定理，即可求函数g（t）的解析式．

解答 解：（I）当t=0时，由x²-1=0得x=±1，∴u=-1，v=1，f（x）=$\frac{x}{2{x}^{2}+2}$（-1≤x≤1），
∵f′（x）=$\frac{2（1+x）（1-x）}{（2{x}^{2}+2）^{2}}$≥0，∴f（x）在[-1，1]上单调递增，
∴f（x）_max=$\frac{1}{4}$，f（x）_min=-$\frac{1}{4}$；
（II）由题意，f′（x）=$\frac{-2（{x}^{2}-4tx+1）}{（2{x}^{2}+2）^{2}}$≥0，
∴f（x）在[u，v]上单调递增，∴f（x）_max=f（v），f（x）_min=f（u）；
又u+v=4t，uv=-1，
∴g（t）=f（v）-f（u）=$\frac{v-2t}{2{v}^{2}+2}$-$\frac{u-2t}{2{u}^{2}+2}$=$\frac{\sqrt{（u+v）^{2}-4uv}[2t（u+v）-uv+1]}{2[（uv）^{2}+（u+v）^{2}-2uv+1]}$=$\frac{\sqrt{4{t}^{2}+1}}{2}$．

点评 本题考查函数的最值，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．