Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为，经过F且斜率为k（k＞0的直线与抛物线交于A、B两点（点A在x轴的上方），与准线交于C点，若|BC|=2|EF|，且|AF|=8，则P=

4

．

Answer 1

分析：题干错误：|BC|=2|EF|，应该是：|BC|=2|BF|，请给修改，谢谢．

作辅助线如图，则由抛物线的定义可得|BD|=|BF|，|AF|=|AE|=8，在直角三角形BCD中，求得sin∠BCD 的值，
可得∠BCD 的值，从而得到∠AFM 的值以及|AM|和|EM|的值，从而求得p的值．

解答：解：作BD⊥l，AE⊥l，FM⊥AE，则由抛物线的定义可得|BD|=|BF|，|AF|=|AE|=8，|BD|=BF|．
故在直角三角形BCD中，由|BC|=2|BF|，可得|BC|=2|ED|，
故有sin∠BCD=

|BD|

|BC|

=

1

2

，∴∠BCD=

π

6

，∴∠AFM=

π

6

，
∴|AM|=4，|EM|=4，∴p=|EM|=4，
故答案为 4．

点评：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，
属于中档题．