Question

设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）的一条对称轴是直线x=

π

8

；
（1）求φ得值；
（2）求y=f（x）得单调增区间；
（3）x∈（0，

π

4

），求f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值

分析：（1）由题意可得2×

π

8

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，结合-π＜φ＜0 可得φ 的值．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x-

3π

4

），令2kπ-

π

2

≤2x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的单调增区间．
（3）根据x∈（0，

π

4

），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）的一条对称轴是直线x=

π

8

，
∴2×

π

8

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，结合-π＜φ＜0 可得φ=-

3π

4

．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x-

3π

4

），令2kπ-

π

2

≤2x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z可得
kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，故函数的单调增区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈z
（3）∵x∈（0，

π

4

），∴2x-

3π

4

∈（-

3π

4

，-

π

4

），∴sin（2x-

3π

4

）∈[-1，-

2

2

），
故f（x）的值域为[-1，-

2

2

）．

点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，正弦函数的单调性、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．