Question

（2011•西城区一模）已知数列{a_n}的各项均为正整数，S_n为其前n项和，对于n=1，2，3，…，有an+1=

3an+5  an为奇数 an 2k    an为偶数．其中k为使an+1为奇数的正整数

，当a₃=5时，a₁的最小值为

5

；当a₁=1时，S₁+S₂+…+S₂₀=

910

．

Answer 1

分析：解：由题设知，当a₃=5时，

a2

2k

=5，解得a1=

5×2k-5

3

，或a₁=5×2^m+k，因为{a_n}的各项均为正整数，m，k∈正整数，所以k=2时，a₁有最小值a1=

5×4-5

3

=5．
当a₁=1时，a₂=3×1+5=8，a3=

8

23

=1，a₄=3×1+5=8，a5=

8

23

=1，…，所以{a_n}是周期为2的周期数列，
它的奇数项是1，偶数项是8，由此能求出S₁+S₂+…+S₂₀．

解答：解：∵数列{a_n}的各项均为正整数，
an+1=

3an+5  an为奇数 an 2k    an为偶数．其中k为使an+1为奇数的正整数

，
当a₃=5时，

a2

2k

=5，
∴a₂=5×2^k=3×a₁+5，或a₂=5×2^k=

a1

2m

，
∴a1=

5×2k-5

3

，或a₁=5×2^m+k，
∵{a_n}的各项均为正整数，m，k∈正整数，
∴k=2时，a₁有最小值a1=

5×4-5

3

=5．
当a₁=1时，
a₂=3×1+5=8，
a3=

8

23

=1，
a₄=3×1+5=8，
a5=

8

23

=1，
…
∴{a_n}是周期为2的周期数列，
它的奇数项是1，偶数项是8，
∴S₁+S₂+…+S₂₀=1+（1+8）+（1×2+8）+（1×2+8×2）+（1×3+8×2）+（1×3+8×3）+…+（1×10+8×9）+（1×10+8×10）=910．
故答案为：5，910．

点评：本题考查数列的递推公式的性质和应用，当a₃=5时，求a₁的最小值借助递推公式进行计算；当a₁=1时，求S₁+S₂+…+S₂₀．解题时分别求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，仔细观察能够发现{a_n}是周期为2的周期数列，它的奇数项是1，偶数项是8，借助数列的周期性进行求解．