Question

已知定义在R上的函数f（x）=-2x³+bx²+cx（b，c∈R），函数F（x）=f（x）-3x²是奇函数，函数f（x）在x=-1处取极值．
求（I）b的值；
（II）函数f（x）在区间[-3，3]上的最大值．

Answer 1

解：（I）∵函数F（x）=f（x）-3x²是一个奇函数，
∴F（-x）=-F（x），化简计算得∴b=3；（4分）
（II）∵函数f（x）在x=1处取极大值，
∴f′（-1）=0（5分）f（x）=-2x³+3x²+cx，f′（x）=-6x²+6x+c（6分）
∴f（-1）=-6-6+c=0，c=12（8分）
∴f（x）=-2x³+3x²+12x，f′（x）=-6x²+6x+12=-6（x²-x-2）
令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=2，（9分）
列表
（11分）
∴当x=-3时，f（x）_max=45．（13分）
分析：（I）由函数F（x）=f（x）-3x²是一个奇函数，得到F（-x）=-F（x）构建关于b的方程求解．
（II）由函数f（x）在x=1处取极大值，可得陇望蜀f′（-1）=0和f（-1）=-6-6+c=0，从而得到了f（x）=-2x³+3x²+12x，再导数求得最值．
点评：本题主要考查函数的奇偶性和导数法来求函数的最值．