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已知二次函数f(x)=ax2+bx-1,且不等式|f(x)|≤2|2x2-1|的实数x恒成立,数列{an}满足a1=1,an+1=f(
an+1
)(n∈N*)

(1)求a,b的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)求证
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
n
2
-
11
35
(n∈N*)
分析:(1)由不等式|f(x)|≤2|2x2-1|的实数x恒成立,由x=±
2
2
时,2|2x2-1|=0,结合绝对值的非负性,可得f(
2
2
)=f(-
2
2
)=0,由此构造方程可求出a,b的值;
(2)由f(x)=2x2+1,可得an+1=2an+1,进而可得数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,求出数列{an+1}的通项公式后,可得数列{an}的通项公式;
(3)由
ak
ak+1
=
2k-1
2k+1-1
1
2
-
1
15
1
2k-2
(k≥3),利用放缩法,可证得
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
n
2
-
11
35
(n∈N*)
解答:解:(1)∵不等式|f(x)|≤2|2x2-1|对任意的实数x恒成立.且当x=±
2
2
时,2|2x2-1|=0
∴|f(
2
2
)|≤0,且|f(-
2
2
)|≤0,
即f(
2
2
)=f(-
2
2
)=0
1
2
a+
2
2
b-1=0
1
2
a-
2
2
b-1=0

解得:a=2,b=0;
(2)由 (1)知f(x)=2x2+1,
an+1=f(
an+1
)
=2an+1,
an+1+1=2(an+1)
又a1=1,
∴数列{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.
∴an+1=2n
从而数列{an}的通项公式an=2n-1;
(3)由 (2)知an=2n-1,
ak
ak+1
=
2k-1
2k+1-1
=
1
2
-
1
2(2K+1-1)
=
1
2
-
1
15•2k-2+(2k-2-2)
1
2
-
1
15
1
2k-2
(k≥3)
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
1
3
+
3
7
+
n-2
2
-
1
15
•(
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-2
)=
n
2
-
5
21
-
1
15
•(1-
1
2n-2
)>
n
2
-
5
21
-
1
15
=
n
2
-
32
105
n
2
-
11
35

综上有
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
n
2
-
11
35
(n∈N*)
点评:本题考查的知识点是数列与函数的综合应用,数列与不等式的综合应用,求数列的通项公式,其中(1)的关键是得到f(
2
2
)=f(-
2
2
)=0,(2)的关键是得到数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,(3)的关键是利用放缩法对不等式进行变形.
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