Question

13．已知等差数列{a_n}中，前n项和S_n=kn（n+1）-n，k是常数，且首项为1．
（1）求k与a_n；
（2）若数列{b_n}满足b₁=2，b_n-b_n-1=2${\;}^{{a}_{n}}$（n≥2），求b_n．

Answer 1

分析 （1）由题设得a₁=S₁=2k-1=1，解得k=1，可得S_n=n²，a₂=S₂-S₁=3，可得d=a₂-a₁，即可得出a_n．
（2）b_n=b_n-1+2${\;}^{{a}_{n}}$=b_n-2+2${\;}^{{a}_{n-1}}$+2${\;}^{{a}_{n}}$=…=b₁+2${\;}^{{a}_{2}}$+2${\;}^{{a}_{3}}$+…+2${\;}^{{a}_{n-1}}$+2${\;}^{{a}_{n}}$．由（1）知2${\;}^{{a}_{n}}$=2^2n-1，利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）由题设得a₁=S₁=2k-1=1，
∴k=1，
∴S_n=n（n+1）-n=n²，a₂=S₂-S₁=2²-1=3，
则d=a₂-a₁=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
（2）b_n=b_n-1+2${\;}^{{a}_{n}}$=b_n-2+2${\;}^{{a}_{n-1}}$+2${\;}^{{a}_{n}}$=…=b₁+2${\;}^{{a}_{2}}$+2${\;}^{{a}_{3}}$+…+2${\;}^{{a}_{n-1}}$+2${\;}^{{a}_{n}}$．
由（Ⅰ）知2${\;}^{{a}_{n}}$=2^2n-1，
又∵b₁=2，
∴b_n=2¹+2³+2⁵+…+2^2n-3+2^2n-1=$\frac{2（1-4n）}{1-4}$=$\frac{2（4n-1）}{3}$．
明显，n=1时，也成立．
综上所述，b_n=$\frac{2（4n-1）}{3}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．