Question

3．数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，且{a_na_n+1}是以3为公比的等比数列．
（1）求a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式和前2n项和．

Answer 1

分析 （1）分别令n=2，3，即可得到所求a₃，a₄的值；
（2）由a_na_n+1=6•3^n-1，可得a_n+1a_n+2=6•3ⁿ，则有$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{3}$，由等比数列的通项公式和求和公式，奇数即可得到．

解答 解：（1）{a_na_n+1}是以3为公比的等比数列，
即有a_na_n+1=6•3^n-1，
则a₂a₃=6×3=18，解得a₃=6；
a₃a₄=6×9，解得a₄=9；
（2）由a_na_n+1=6•3^n-1，可得a_n+1a_n+2=6•3ⁿ，
则有$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{3}$，
即有a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2•{3}^{\frac{n-1}{2}}，n为奇数}\\{3•{3}^{\frac{n-2}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$；
前2n项和为（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）
=$\frac{2（1-{3}^{n}）}{1-3}$+$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$
=$\frac{5（{3}^{n}-1）}{2}$．

点评 本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．