Question

已知定点F(0，1)和直线l₁：y＝－1，过定点F与直线l₁相切的动圆圆心为点C.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)过点F的直线l₂交轨迹于两点P、Q，交直线l₁于点R，求·的最小值．

Answer 1

（1）x²＝4y（2）16

(1)由题设点C到点F的距离等于它到l₁的距离，
∴点C的轨迹是以F为焦点，l₁为准线的抛物线．∴所求轨迹的方程为x²＝4y.

(2)由题意直线l₂的方程为y＝kx＋1，与抛物线方程联立消去y，得x²－4kx－4＝0.
记P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－4.
由直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为，
·＝＋(kx₁＋2)(kx₂＋2)
＝(1＋k²)x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋＋4
＝－4(1＋k²)＋4k＋＋4＝4＋8.
∵k²＋≥2，当且仅当k²＝1时取到等号．
∴·≥4×2＋8＝16，即·的最小值为16.