Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，焦点F的坐标为(1，0)．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)设M、N是抛物线C的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为－4，直线MO、NO与抛物线的交点分别为点A、B，求证：动直线AB恒过一个定点．

Answer 1

（1）y²＝4x（2）见解析

(1)设抛物线的标准方程为y²＝2px(p>0)，则＝1，p＝2，所以抛物线方程为y²＝4x.
(2)抛物线C的准线方程为x＝－1，设M(－1，y₁)，N(－1，y₂)，其中y₁y₂＝－4，直线MO的方程：y＝－y₁x，将y＝－y₁x与y²＝4x联立解得A点坐标.同理可得B点坐标，则直线AB的方程为：，整理得(y₁＋y₂)y－4x＋4＝0，故直线AB恒过定点(1，0)．