Question

已知数列{a_n}中a1=

2

3

，a2=

8

9

．当n≥2时3a_n+1=4a_n-a_n-1．（n∈N^*）
（Ⅰ）证明：{a_n+1-a_n}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅲ）若对任意n∈N^*有λa1a2a3…an≥1(λ∈N*)均成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）数列{a_n}中a1=

2

3

，a2=

8

9

．当n≥2时3a_n+1=4a_n-a_n-1．（n∈N^*），由此能够证明{a_n+1-a_n}是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an+1-an=

2

9

(

1

3

)n-1，故an-an-1=

2

9

(

1

3

)n-2，an-1-an-2=

2

9

(

1

3

)n-3，…a2-a1=

2

9

(

1

3

)0，由累加法能够求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）若对任意n∈N^*，有λa1a2a3…an≥1(λ∈N*)均成立，则λ≥

1

a1a2a3…an

在n∈N^*时恒成立．故需求(1-

1

3

)•(1-

1

32

)•…•(1-

1

3n

)在n∈N^*上的最小值．由此能求出λ的最小值．

解答：（Ⅰ）证明：∵数列{a_n}中，a1=

2

3

，a2=

8

9

．
当n≥2时3a_n+1=4a_n-a_n-1．（n∈N^*）
∴当n≥2时3a_n+1-3a_n=a_n-a_n-1，
即an+1-an=

1

3

(an-an-1)．
所以{a_n+1-a_n}是以a2-a1=

2

9

为首项，以

1

3

为公比的等比数列．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知an+1-an=

2

9

(

1

3

)n-1，
故an-an-1=

2

9

(

1

3

)n-2，
an-1-an-2=

2

9

(

1

3

)n-3，
…
a2-a1=

2

9

(

1

3

)0，
累加得an-a1=

1

3

-(

1

3

)n，
所以an=1-(

1

3

)n．…（9分）
（Ⅲ）解：若对任意n∈N^*有λa1a2a3…an≥1(λ∈N*)均成立，
则λ≥

1

a1a2a3…an

在n∈N^*时恒成立．
故需求(1-

1

3

)•(1-

1

32

)•…•(1-

1

3n

)在n∈N^*上的最小值．
现证n∈N^*时有(1-

1

3

)•(1-

1

32

)•…•(1-

1

3n

)＞

1

2

显然，左端每个因式都是正数，
先证明，对每个n∈N^*，有(1-

1

3

)•(1-

1

32

)•…•(1-

1

3n

)≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）
用数学归纳法证明上式：
（ⅰ）n=1时，上式显然成立，
（ⅱ）假设n=k时，结论成立，
即(1-

1

3

)•(1-

1

32

)•…•(1-

1

3k

)≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）
则当n=k+1时，(1-

1

3

)•(1-

1

32

)•…•(1-

1

3k

)•(1-

1

3k+1

)
≥[1-(

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

)]•(1-

1

3k+1

)
=1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）-

1

3k+1

+

1

3k+1

（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）
≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

+

1

3k+1

），
即当n=k+1时，结论也成立．
故对一切n∈N^*，(1-

1

3

)•(1-

1

32

)•…•(1-

1

3n

)≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）成立．
所以(1-

1

3

)•(1-

1

32

)•…•(1-

1

3n

)≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）
=1-

1 3 〔1-( 1 3 )n〕

1- 1 3

=1-

1

2

[1-(

1

3

)n]=

1

2

+

1

2

(

1

3

)n＞

1

2

．
∵1-

1

3n

∈(0，1)，
∴(1-

1

3

)•(1-

1

32

)•…•(1-

1

3n

)≤

2

3

，
故a1a2a3…an∈(

1

2

，

2

3

]，

1

a1a2a3…an

∈[

3

2

，2)，
而λ≥

1

a1a2a3…an

在n∈N^*时恒成立且λ∈N^*，
所以λ的最小值为2．…（14分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查最小值的求法．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．