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    【题目】已知，函数.

    （1）经过原点分别作曲线、的切线，若两切线的斜率互为倒数，证明：；

    （2）设，当时，恒成立，试求实数的取值范围.

    【答案】（1）；（2）

    【解析】

    （1）设切线，切点为.

    则,,

    ,

    由题意，知切线的斜率为，方程为.

    设曲线的切点为.

    则.

    又，消去、后，整理得:.

    令.则:.

    于是，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

    若，由，，则.

    而在上单调递减，故.

    若，因为在区间上单调递增，且，

    所以，，这与题设矛盾.

    综上，.

    （2）注意到，.

    （i）当时，由，则.

    于是，在区间上递增，恒成立，符合题意.

    （ii）当时，由，且

    ，

    则在区间上递增.

    又，则存在，使得.

    于是，在区间上递减，在区间递增.

    又，此时，不恒成立，不符合题意.

    综上，实数的取值范围是.

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