Question

【题目】已知数列的前项和为,且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前项和为，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：(1)由时，利用，结合等差数列的定义和通项公式即可得到数列的通项公式；（2）由（1）得，运用裂项相消法求和，化简整理，然后利用放缩法可证明.

试题解析：(1)当n=1时,a1=S1=3;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-=2n+1.

当n=1时,也符合上式,故an=2n+1.

(2)因为==,

故Tn=

=

【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.