Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,为PD的中点.

(Ⅰ)证明PB∥平面;

(Ⅱ)证明AD⊥平面PAC;

(Ⅲ)求直线与平面ABCD所成角的正切值.

Answer 1

【解析】(Ⅰ)证明:连接BD,MO.在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,所以O为BD的中点,又M为PD的中点,所以PB∥MO,因为PB平面,平面,所以PB∥平面.

(Ⅱ)证明:因为,AD=AC=1,所以AD⊥AC,又PO⊥平面ABCD,AD平面ABCD,所以PO⊥AD,而

,所以AD⊥平面PAC.

(Ⅲ)取DO点N,连接MN,AN,因为M为PD的中点,所以MN∥PO,且MN=PO=1,由PO⊥平面ABCD,得

MN⊥平面ABCD,所以是直线AM与平面ABCD所成的角.在中,AD=1,AO=,所以

,从而.在中, ,即直线与平面ABCD所成角的正切值为.

【命题意图】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.