Question

3．（1）已知圆0₁：（x-3）²+（y-4）²=1．P（x，y）为圆O上的动点．求d=x²+y²的最大、最小值．
（2）己知圆0₂．（x+2）²+y²=1．P（x．y）为圆上任-点，求$\frac{y-2}{x-1}$的最大、最小值．求x-2y的最大、最小值．

Answer 1

分析 （1）求得圆0₁的圆心和半径，d=x²+y²表示与原点O的距离的平方，由圆的性质，可得最值；
（2）求得圆0₂的圆心和半径，$\frac{y-2}{x-1}$表示点（x，y）与点A（1，2）的斜率，由直线和圆相切的条件：d=r，计算即可得到最值；再令x-2y=t，由直线和圆相切的条件，计算即可得到最值．

解答 解：（1）圆0₁：（x-3）²+（y-4）²=1的圆心O₁（3，4），半径r=1，
d=x²+y²表示与原点O的距离的平方，即有$\sqrt{d}$的最大值为OO₁+r=5+1=6，
最小值为OO₁-r=5-1=4，
则d的最大值为36，最小值为16；
（2）圆0₂：（x+2）²+y²=1的圆心O₂（-2，0），半径为1，
$\frac{y-2}{x-1}$表示点（x，y）与点A（1，2）的斜率，设为k，
即有kx-y+2-k=0，
由直线和圆相切，d=r即$\frac{|-2k-0+2-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=$\frac{3±\sqrt{3}}{4}$，
则$\frac{y-2}{x-1}$的最大值为$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$，最小值为$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$；
令x-2y=t，由直线和圆相切的条件，可得$\frac{|-2-0-t|}{\sqrt{1+4}}$=1，
解得t=-2+$\sqrt{5}$或-2-$\sqrt{5}$，
即有x-2y的最大值为-2+$\sqrt{5}$，最小值为-2-$\sqrt{5}$．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，考查相切的条件：d=r，以及点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题．